Mis vídeos
Os dejo algunos vídeos explicativos sobre operaciones con fracciones y resolución de ecuaciones. Creo que puede veniros bien a cualquiera:
3/14/15 ... ¡El día de Pi!
El número Pi se considera el número más "famoso" de entre todos, el más "popular".
Pi se obtiene al dividir la longitud de cualquier circunferencia entre su diámetro (de ahí, la fórmula del cálculo de la longitud de una circunferencia L=2·pi·r). Se tiene constancia de que los antiguos egipcios, ya lo estudiaban allá por el S.XVI a.C.
Aparece en representaciones artísticas, en la naturaleza, da nombre a películas ("Pi", "La vida de Pi"), e incluso se han creado canciones a partir del número Pi. Verifica multitud de ecuaciones, se puede obtener a partir de diversos algoritmos, y por si fuera poco, aparece en la que se denomina la "fórmula matemática más bella":
La explicación de por qué esta ecuación es la más bella entre todas, reside en que en esta igualdad aparecen los cinco números más importantes y significativos en el mundo matemático: el 1 (elemento neutro en la multiplicación), el 0 (elemento neutro para la suma), el número i (número imaginario, igual a la raíz de -1), el número e (número neperiano que aparece en el análisis de forma natural) y el número pi (que tiene tanta importancia, sobre todo en geometría).
Pues bien, durante el 2015, sucedió algo que sólo ocurre cada cien años. En un momento del 14 de Marzo de 2015, un poco más tarde las nueve de la mañana, el momento en el que nos encontrábamos fue el momento del número Pi. Para ello, debemos fijarnos en la fecha, eso sí, al estilo anglosajón (Mes/Día/Año) y en la hora. Pues a eso de las 9 h, 26 minutos, 53 segundos "y pico", nos encontrábamos en el momento:
3/14/15 9:26:53....
Para que sigas descubriendo más sobre este famoso número, te dejo algunas curiosidades:
* Un 14 de marzo nació Albert Einstein (genio de la física), Frank Borman (comandante de la misión espacial Apolo 8), Giovanni
Schiaparelli (célebre astrónomo e historiador), y Gene Cernan, (el último
hombre que pisó la Luna). Por esta razón, se ha llegado a considerar al día de Pi como el "día nerd".
* El cortometraje Pipas (Nominado al Goya y galardonado con los premios a la MEJOR DIRECCIÓN Y AL MEJOR GUIÓN en la XI edición del Notodofilmfest), se inspira claramente en el número Pi. ¡No te lo pierdas!
* Existe un estilo de escritura creado en honor al número Pi, se llama "escritura Pinish", y consiste en escribir palabras consecutivamente, de modo que la longitud de cada una sea igual a cada una de las cifras de Pi. ¿Para qué sirve esto? Para nada, pero es curioso. Mira un ejemplo:
“How I need a drink, alcoholic in nature, after the heavy lectures involving quantum mechanics!”
- How=3
- I=1
- need=4
- a=1
- drink=5
- alcoholic=9
*El número Pi tiene infinitas cifras decimales, por lo tanto es imposible encontrar todas y cada una de ellas. Eso sí, ya se han encontrado 5 billones de cifras decimales del número Pi. Impresionante, ¿verdad? Te dejo este enlace para que consultes el primer millón de cifras decimales de pi.
* Aquí puedes encontrar todas las igualdades que verifica el número Pi, así como muchas de sus características más importantes.
* Y por último, te dejo una de las múltiples canciones creadas a partir del número Pi. Es sólo un ejemplo, hay muchas más:
3º ESO: Los números reales
UNIDAD DIDÁCTICA 1: LOS NÚMEROS REALES
A lo largo de la primera unidad del tercer curso de la Educación Secundaria Obligatoria, debéis conocer la existencia de distintos tipos de números. Todos ellos, formarán el conjunto de los números reales y cada uno de estos números se utilizan para resolver diversos problemas. Así:
- Los números naturales: sirven para contar y ordenar.
- Los números enteros: sirven para expresar cantidades negativas y resolver problemas que no pueden resolver los números naturales.
- Los números racionales: permiten expresar partes de un total y nos permiten resolver problemas que no resolvían los enteros.
También conoceréis los números irracionales, que son aquellos números reales que no se pueden expresar como fracción.
Para que repaséis todos estos conceptos que debéis aprender durante esta primera unidad, os dejo el siguiente enlace. En él podéis repasar el tema y realizar diversas actividades multimedia.
También os propongo una serie de actividades y sus soluciones sobre fracciones:
Núumeros_fraccionarios_o_racionales
Para que repaséis todos estos conceptos que debéis aprender durante esta primera unidad, os dejo el siguiente enlace. En él podéis repasar el tema y realizar diversas actividades multimedia.
También os propongo una serie de actividades y sus soluciones sobre fracciones:
3º ESO: Potenciación y radicación
UNIDAD DIDÁCTICA 2: POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
Después de haber repasado todo lo referente a los números reales, hay que ampliar el conocimiento de las operaciónes con ellos. Vamos a estudiar a fondo las potencias y los radicales de números reales.
Después de haber repasado todo lo referente a los números reales, hay que ampliar el conocimiento de las operaciónes con ellos. Vamos a estudiar a fondo las potencias y los radicales de números reales.
Utilizad la siguiente unidad multimedia para repasar o estudiar todo lo que debes saber sobre este tema.
Aquí tenéis también una serie de actividades para realizar. En el documento encontraréis actividades relacionadas con este tema y también con el anterior (Números reales). Al final del documento están las soluciones:
Ejercicios de numeros reales_potencias_radicales
3º ESO: Sucesiones y progresiones
UNIDAD DIDÁCTICA 3: SUCESIONES Y PROGRESIONES
A finales del siglo XII, vivió en Bugía, una ciudad al norte de África, Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci. Fibonacci fue un importante matemático italiano que difundió el sistema decimal por Europa, introdujo el cero en este mismo continente y estableció la conocida como "sucesión de Fibonacci", entre muchas otras cosas.
A finales del siglo XII, vivió en Bugía, una ciudad al norte de África, Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci. Fibonacci fue un importante matemático italiano que difundió el sistema decimal por Europa, introdujo el cero en este mismo continente y estableció la conocida como "sucesión de Fibonacci", entre muchas otras cosas.
La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos: "Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar su edad fértil, a partir de ese momento cada mes engendra una pareja de conejos, que a su vez, tras alcanzar su edad fértil, engendran otra pareja de conejos cada mes. ¿Cuántos conejos habrá tras un determinado número de meses?".
La solución a este problema la alcanzó del siguiente modo:
--> Al final del primer mes, sólo hay una pareja.
--> Al final del segundo mes, se reproducen, luego hay dos parejas.
--> Al final del tercer mes, la primera pareja sigue reproduciéndose pero la pareja más jóven aún no es fértil.
--> Al final del cuarto mes, se reproducen las dos parejas más mayores pero la jóven aún no.
Y así sucesivamente...
De modo que Fibonacci encontró que el número de parejas que había en un mes determinado se hallaba sumando el número de parejas que había los dos meses anteriores, así:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
A esta sucesión se le pasó a llamar sucesión de Fibonacci.
La curiosidad de esta sucesión es que además nos la encontramos en un gran número de fenómenos naturales: en la distribución de las hojas alrededor de un tallo, en el número de espirales en flores y frutos. Por ejemplo, cualquier variedad de piña, presenta un número de espirales que coincide con dos términos de esta sucesión: 8 y 13 o 5 y 8. Tanto es así, que se ha llegado a conocer también como "sucesión ecológica".
Durante esta unidad, debéis aprender muchas cosas sobre sucesiones y sobre progresiones aritméticas y geométricas (que son un caso especial de sucesiones).
3º ESO: Polinomios
UNIDAD DIDÁCTICA 4: POLINOMIOS
Durante el curso de 3º ESO se deben alcanzar algunos conocimientos sobre polinomios que amplian los ya sabidos por cursos anteriores. Hay que reforzar conceptos ya conocidos como: expresión algebraica, valor numérico de una expresión algebraica, monomios, polinomios y operaciones básicas con polinomios. También hay que ampliar los conocimientos incluyendo lo siguiente: regla de Ruffini para dividir polinomios, identidades notables y descomposición factorial de un polinomio.
Durante el curso de 3º ESO se deben alcanzar algunos conocimientos sobre polinomios que amplian los ya sabidos por cursos anteriores. Hay que reforzar conceptos ya conocidos como: expresión algebraica, valor numérico de una expresión algebraica, monomios, polinomios y operaciones básicas con polinomios. También hay que ampliar los conocimientos incluyendo lo siguiente: regla de Ruffini para dividir polinomios, identidades notables y descomposición factorial de un polinomio.
Para empezar, lo mejor es seguir la siguiente unidad interactiva sobre polinomios. En ella encontraréis teoría y actividades multimedia.
IDENTIDADES NOTABLES
Una de las dificultades mayores para los alumnos es el de las identidades notables. A continuación os presento un enlace ideal para repasar los productos notables que se estudiarán en este curso:
REGLA DE RUFFINI
Para repasar más a fondo cómo dividir polinomios a través de la "Regla de Ruffini" podéis hacerlo en este enlace. Y además, os dejo la siguiente calculadora para que comprobéis si vuestras divisiones por Ruffini están bien hechas.
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Por último, os propongo el siguiente documento para repasar cómo realizar la descomposición factorial de un polinomio. Recordad que se puede hacer extrayendo factor común, utilizando las identidades notables y mediante las soluciones de una ecuación.
Factorización de polinomios
Para repasar más a fondo cómo dividir polinomios a través de la "Regla de Ruffini" podéis hacerlo en este enlace. Y además, os dejo la siguiente calculadora para que comprobéis si vuestras divisiones por Ruffini están bien hechas.FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Por último, os propongo el siguiente documento para repasar cómo realizar la descomposición factorial de un polinomio. Recordad que se puede hacer extrayendo factor común, utilizando las identidades notables y mediante las soluciones de una ecuación.
3º ESO: Ecuaciones de primer y segundo grado
UNIDAD DIDÁCTICA 5: ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO
Al igual que ocurre con los polinomios, durante el curso de 3º ESO hay que ampliar los conocimientos ya adquiridos anteriormente sobre ecuaciones (lenguaje algebraico, identidades y ecuaciones de primer grado) y ampliarlos. Debemos estudiar, además de las ecuaciones de primer grado, las ecuaciones de segundo grado y las aplicaciones de ambas a la resolución de problemas.
Como en unidades anteriores, os propongo varios enlaces en donde podéis repasar de manera interactiva todos los contenidos de esta unidad. Para ello, elige lo que te interese repasar:
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| Ecuaciones de primer grado |
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| Ecuaciones de segundo grado |
 | |
| Problemas con ecuaciones |
También os propongo ver dos vídeos que he elaborado en los que podéis repasar cómo se resuelven las ecuaciones de primer grado y las de segundo grado:
Resolución de ecuaciones de primer grado:
Resolución de ecuaciones de segundo grado:
Como siempre, os dejo material para trabajar esta unidad. Os detallo lo que encontraréis en cada enlace:
* Aquí tendrás toda la teoría y actividades desde las ecuaciones de primer grado, de segundo grado y problemas con ecuaciones.
* Si sólo quieres repasar tu lenguaje algebraico, entonces este es tu documento.
3º ESO: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
UNIDAD DIDÁCTICA 6: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Una ecuación lineal de dos incógnitas x,y es una ecuación del tipo ax+by = c, donde a, b y c son números reales. Estas ecuaciones tienen infinitas soluciones y cada una de ellas está formada por un par de valores: uno para la x, otro para la y, que verifican la ecuación. Las soluciones se pueden denotar también (x,y).
Por ejemplo: 2x - y = 3 tiene soluciones: (1,-1), (0,-3), (2,1), ...
Para poder representar todas las soluciones de estas ecuaciones, lo hacemos representando sus soluciones en el plano, obteniendo así una recta:
Si necesitáis repasar cómo representar estas ecuaciones, pinchad en la gráfica anterior y os llevará a un video en el que poder repasarlo.
Ahora, ¿qué será un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas? Será un conjunto de dos ecuaciones como la anterior, con las mismas incógnitas. Una solución de un sistema será un par de valores que es solución de las dos ecuaciones a la vez.
Para recordar todo esto, repasar los tipos de sistemas de ecuaciones lineales que existen (en función de sus soluciones) y repasar los métodos de resolución de sistemas, os sugiero que lo hagáis en el siguiente enlace.
Os dejo ahora un documento que podéis descargar para resolver sistemas de ecuaciones lineales y comprobar la solución (la tenéis al final de la hoja):
3º ESO: TEOREMA DE THALES Y TEOREMA DE PITÁGORAS
UNIDAD DIDÁCTICA 7: TEOREMA DE THALES Y TEOREMA DE PITÁGORAS
En esta unidad se pretende estudiar: algunos lugares geométricos importantes, los puntos y rectas notables de un triángulo, el teorema de Thales y sus aplicaciones y el teorema de Pitágoras y sus aplicaciones.
LUGARES GEOMÉTRICOS:
Se llama lugar geométrico al conjunto de todos los puntos que cumplen una determinada propiedad geométrica.
* Ejemplo: El lugar geométrico de los puntos que están a la misma distancia de dos puntos A y B será una recta r:
Algunos lugares geométricos importantes:
Mediatriz: es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a los extremos de un segmento es la misma. Los puntos forman una recta perpendicular al segmento, que pasa por su punto medio.
Mediatriz: es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a los extremos de un segmento es la misma. Los puntos forman una recta perpendicular al segmento, que pasa por su punto medio.
Bisectriz: es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a los lados de un ángulo es la misma.
Los puntos forman una recta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos ángulos iguales.
Circunferencia: es el lugar geométrico de los puntos que están a la misma distancia de un punto fijo. Al punto fijo se le llama centro y a la distancia radio.
PUNTOS Y RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO
Para el estudio de los puntos y rectas más importantes en un triángulo, te recomiendo que entres en los siguientes enlaces. En cada uno, repasarás todos los conceptos de manera muy visual y podrás ir modificando los triángulos para ver así cómo cambian los puntos y rectas notables de posición.
TEOREMA DE THALES Y TEOREMA DE PITÁGORAS
Para repasar los teoremas de Thales y Pitágoras y sus aplicaciones, podéis entrar en los siguientes enlaces. Son libros animados y os pueden servir de gran ayuda. Además, en uno de ellos también podéis repasar las figuras planas y triángulos.
Si queréis repasar el teorema de Thales, elegid su imagen. Si preferís repasar Pitágoras, elegidle a él:
Si queréis repasar el teorema de Thales, elegid su imagen. Si preferís repasar Pitágoras, elegidle a él:
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| Pitágoras |
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| Thales de Mileto |
EJERCICIOS
Como siempre, aquí os dejo un documento con ejercicios sobre el tema y sus soluciones. Espero que os sirva de ayuda.
3º ESO: MOVIMIENTOS EN EL PLANO
UNIDAD DIDÁCTICA 8: MOVIMIENTOS EN EL PLANO
¿Conocéis a M.C. Escher? Maurits Cornelis Escher, más conocido como M.C. Escher nació en 1898 en los Países Bajos y falleció en 1972. Fue un artista muy estimado, conocido por sus grabados en madera, xilografías y litografías sobre figuras imposibles, teselados y mundos imaginarios.
Su obra refleja espacios paradójicos y mundos imposibles, y siempre ha interesado a los matemáticos.
Si queréis saber más sobre él y conocer algunas de sus obras, pinchad en su foto. De momento, aquí os presento algunos de sus trabajos:
¿Conocéis a M.C. Escher? Maurits Cornelis Escher, más conocido como M.C. Escher nació en 1898 en los Países Bajos y falleció en 1972. Fue un artista muy estimado, conocido por sus grabados en madera, xilografías y litografías sobre figuras imposibles, teselados y mundos imaginarios.Su obra refleja espacios paradójicos y mundos imposibles, y siempre ha interesado a los matemáticos.
Si queréis saber más sobre él y conocer algunas de sus obras, pinchad en su foto. De momento, aquí os presento algunos de sus trabajos:
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| Mariposas |
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| Esfera con ángeles y diablos |
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| Relatividad |
Escher cubría todo el plano con un mismo dibujo (como en el caso de la teselación con mariposas) o combinando dos dibujos (como en el caso de la esfera con ángeles y diablos).
También realizaba pinturas de mundos imaginarios en los que en una misma escalera, dos personas colocadas en el mismo sentido de marcha, una sube y la otra baja.
Es como si fuesen dos
mundos distintos pero juntos, dos dimensiones en una.
En esta unidad se estudian los movimientos en el plano: traslaciones, giros y simetrías. Posteriormente, podréis ver cómo Escher conseguía rellenar el plano con un mismo dibujo a través de estos movimientos.
TRASLACIÓN: Una traslación de vector v, es un movimiento que hace corresponder a cada punto A, otro punto A´, que se obtiene al aplicar a A el vector v.
Las traslaciones no varían el tamaño de la figura ni su orientación. Tan sólo cambian el lugar de posición de la figura.
Podéis ver cómo funcionan las traslaciones de manera muy visual en el siguiente enlace. En él, veréis cómo se aplica una traslación a una figura, podeís cambiar la figura inicial o el vector de traslación, y comprobaréis cómo cambia de posición la figura trasladada.
GIRO: Un giro con centro O y ángulo x, es un movimiento que hace corresponder a cada punto P otro punto del plano, aplicando sobre él un movimiento circular de centro O y x grados.
Los giros cambian el lugar del plano en el que se sitúa la figura y también cambian la orientación de la figura, pero no su tamaño.
Los giros cambian el lugar del plano en el que se sitúa la figura y también cambian la orientación de la figura, pero no su tamaño.
Al igual que antes, si pincháis aquí, veréis cómo funcionan los giros y cómo cambia la figura obtenida si se cambia el centro de giro y/o el ángulo de giro.
SIMETRÍA AXIAL:Una simetría axial de eje e es una transformación en la que a cada punto A le corresponde otro A´ que está a igual distancia de e que A y ambos están alineados de manera perpendicular a e.
Las simetrías axiales cambian las figuras de posición en el plano y de orientación.
Podéis comprobar cómo cambia una figura mediante una simetría axial aquí.
SIMETRÍA CENTRAL: Una simetría central de centro O es lo mismo que un giro de centro O y una amplitud de 180 grados. De otro modo, es similar a una simetría axial pero en la que cada punto A´ está a la misma distancia de O que el punto A, estando los tres puntos alineados.
Para comprobar cómo cambia una figura al variar el centro de simetría o la posición de la figura inicial, lo podéis ver en este enlace.
TESELACIONES DEL PLANO: Como ya hemos mencionado, Escher conseguía rellenar el plano (teselar el plano) mediante la aplicación de uno o más movimientos sobre las figuras que quería utilizar en cada caso. Si pincháis en este enlace podéis ver diversas teselaciones y cómo se realizan. Os propongo que elijáis la teselación o teselaciones que más os gusten e intentéis determinar qué movimientos hay que realizar, en qué órden y sobre qué figura, para poder obtener cada mosaico.
Si pincháis en el siguiente friso podeis visitar una página "sociedadmatematicacantabria.es", en la que realizar actividades sobre frisos y cenefas que aparecen por las calles de la capital Cántabra. Es muy interesante y hay actividades para realizar:
Si tenéis algún problema con Java en vuestro ordenador, también podéis ver cómo realizar movimientos en el plano aquí. Y si queréis ver cómo Escher conseguía teselar el plano, entonces entrad en este otro enlace.
Por último y como siempre, os facilito un documento que podéis descargar. En él tenéis toda la teoría sobre el tema y actividades que realizar. Aquí lo tenéis:
SIMETRÍA AXIAL:Una simetría axial de eje e es una transformación en la que a cada punto A le corresponde otro A´ que está a igual distancia de e que A y ambos están alineados de manera perpendicular a e.
Las simetrías axiales cambian las figuras de posición en el plano y de orientación.
SIMETRÍA CENTRAL: Una simetría central de centro O es lo mismo que un giro de centro O y una amplitud de 180 grados. De otro modo, es similar a una simetría axial pero en la que cada punto A´ está a la misma distancia de O que el punto A, estando los tres puntos alineados.
TESELACIONES DEL PLANO: Como ya hemos mencionado, Escher conseguía rellenar el plano (teselar el plano) mediante la aplicación de uno o más movimientos sobre las figuras que quería utilizar en cada caso. Si pincháis en este enlace podéis ver diversas teselaciones y cómo se realizan. Os propongo que elijáis la teselación o teselaciones que más os gusten e intentéis determinar qué movimientos hay que realizar, en qué órden y sobre qué figura, para poder obtener cada mosaico.
Si pincháis en el siguiente friso podeis visitar una página "sociedadmatematicacantabria.es", en la que realizar actividades sobre frisos y cenefas que aparecen por las calles de la capital Cántabra. Es muy interesante y hay actividades para realizar:
Si tenéis algún problema con Java en vuestro ordenador, también podéis ver cómo realizar movimientos en el plano aquí. Y si queréis ver cómo Escher conseguía teselar el plano, entonces entrad en este otro enlace.
Por último y como siempre, os facilito un documento que podéis descargar. En él tenéis toda la teoría sobre el tema y actividades que realizar. Aquí lo tenéis:3º ESO: POLIEDROS REGULARES Y ESFERA
UNIDAD DIDÁCTICA 9: LOS POLIEDROS REGULARES Y LA ESFERA
La esfera es un cuerpo geométrico limitado por una superficie curva cerrada cuyos puntos están a la misma distancia de otro punto interior llamado centro de la esfera. Una pelota sería un ejemplo de esfera.
Se llaman poliedros a los cuerpos geométricos cuyas caras son polígonos. Los poliedros se clasifican en prismas y en pirámides.
Los prismas tienen dos caras (bases) que son iguales y paralelas entre sí. Las caras laterales son paralelogramos. Una caja de zapatos es un ejemplo de prisma.
Los prismas tienen dos caras (bases) que son iguales y paralelas entre sí. Las caras laterales son paralelogramos. Una caja de zapatos es un ejemplo de prisma.
Aquí tenéis algunos ejemplos de prismas. Uno tiene como base un triángulo, otro un pentágono y el último un hexágono.
Las pirámides son poliedros que tienen una sola base, que es un polígono cualquiera, y sus otras caras son triángulos que se unen en un vértice común que se llama cúspide o vértice de la pirámide. Una tienda de campaña o las pirámides de Egipto son ejemplos de este tipo de poliedros.
Aquí podéiss ver dos pirámides. Una tiene como base un rectángulo y la otra un cuadrado.
La esfera es un cuerpo geométrico limitado por una superficie curva cerrada cuyos puntos están a la misma distancia de otro punto interior llamado centro de la esfera. Una pelota sería un ejemplo de esfera.
Podéis repasar todo lo que tenéis que saber sobre poliedros (elementos, planos de simetría y desarrollo plano) y sobre la esfera (elementos y aplicaciones a las coordenadas geográficas de un punto en la tierra) en los siguientes enlaces.
Vosotros elegís qué repasar. Podéis descargar un documento pdf con teoría y actividades si elegís a Frink, y si preferís visitar la unidad interactiva entonces elegid a Bart.
Vosotros elegís qué repasar. Podéis descargar un documento pdf con teoría y actividades si elegís a Frink, y si preferís visitar la unidad interactiva entonces elegid a Bart.
También os dejo una última opción. La de utilizar el siguiente documento:
poliedros
3º ESO: FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS GLOBALES
UNIDAD DIDÁCTICA 10: FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS GLOBALES
Por último, aquí tenéis un documento que poder descargar, en el que encontraréis teoría y actividades referentes al tema.
Una función es una relación de causa-efecto entre dos cantidades matemáticas: a iguales causas, iguales efectos.
La causa se denomina variable independiente y se denota con la letra x. El efecto es la variable dependiente, que se indica con la letra y. Frecuentemente, en lugar de la letra y se utiliza la expresión f(x) (o g(x), ...) para dar a entender que y efectivamente depende del valor de x.
La causa se denomina variable independiente y se denota con la letra x. El efecto es la variable dependiente, que se indica con la letra y. Frecuentemente, en lugar de la letra y se utiliza la expresión f(x) (o g(x), ...) para dar a entender que y efectivamente depende del valor de x.
En una función, a un valor de la variable independiente le corresponde un único valor de la variable dependiente. Si no, no estaríamos hablando de una función.
* Por ejemplo, la relación kilogramos de patatas - precio establece una función. La variable independiente sería la magnitud peso en kilogramos. La magnitud precio sería la variable dependiente. A un determinado número de kilogramos sólo le corresponde un precio y no dos o tres diferentes.
Una función se puede representar mediante un enunciado, mediante una expresión algebraica, mediante una tabla de valores o mediante su gráfica en el plano.
* Por ejemplo, expresemos las tasas de un taxi de todas las maneras posibles:
Enunciado: "Un taxi cobra por bajar bandera (es decir, como precio fijo) 3 euros. Y después, 0,5 euros por minuto de viaje."
Expresión algebraica: "y = 3 + 0.5 x, donde x = minutos, y = precio".
Tabla de valores:
x 10 20 30
y 8 13 18
| Gráfica: |
|---|
Existen una serie de características de las funciones: dominio,
recorrido, crecimiento, máximos y mínimos, cortes con los ejes, simetría
y periodicidad.
Para repasar todo esto podéis utilizar las siguientes unidades interactivas. Elegid el tema que queráis repasar:
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| Relaciones funcionales |
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| Funciones elementales |
 |
| Estudio de la gráfica de una función |
Por último, aquí tenéis un documento que poder descargar, en el que encontraréis teoría y actividades referentes al tema.
3º ESO: FUNCIONES ELEMENTALES
UNIDAD DIDÁCTICA 11: FUNCIONES ELEMENTALES
LA RECTA EN EL PLANO:
Ya se han estudiado en este curso las funciones y sus características globales: dominio, recorrido, puntos de corte con los ejes, crecimiento, etc... En esta unidad se pretende estudiar dos casos particulares de funciones: las funciones lineales y las funciones de proporcionalidad inversa.
FUNCIONES LINEALES, AFÍNES Y DE PROPORCIONALIDAD INVERSA:
Se llama función de proporcionalidad directa o, simplemente, función lineal a cualquier función que relacione dos magnitudes directamente proporcionales (x,y). Su ecuación tiene la forma y = mx ó f(x) = mx. El factor m es la constante de proporcionalidad y recibe el nombre de pendiente de la función porque indica la inclinación de la recta que la representa gráficamente. Todas estas rectas pasan por el origen (0,0).
Cuando la función es y = mx + n ó f(x) = mx + n, también obtenemos una recta de pendiente m, pero en este caso, no pasa por el origen, si no que pasa por el punto (0,n). n se llama ordenada en el origen. A este tipo de función se le llama función afín.
* Por ejemplo, en la siguiente gráfica tenemos dos funciones: y = 2x es una función lineal con pendiente 2 y lógicamente pasa por el origen. La otra es una función afín: y = 2x - 5, también con pendiente 2 pero que corta al eje OY en el punto (0,-5). En este caso, -5 es la ordenada en el origen de la función.
Una función de proporcionalidad inversa es la que es del tipo: y = k / x, donde k es un número real. Su representación no es una recta como en el caso de las funciones lineales y afínes, si no que es una hipérbola. Esta hipérbola nunca corta al eje OY porque no existe la función para el valor x=0.
* En los siguientes ejes se ha trazado la gráfica de la función de proporcionalidad inversa y = 2/x.
En esta unidad se estudia más a fondo la recta en el plano. Y es que, como ya hemos visto, las funciones lineales y las afínes representan rectas.
* Si una recta viene dada del modo y = mx + n, se dice que está expresada mediante su ecuación explícita. Las rectas vistas en el apartado anterior venían dadas por su ecuación explícita: y=2x, y=2x-5.
* Si conocemos la pendiente de la recta y también conocemos un punto P(a,b) cualquiera de ella, podemos expresar la ecuación de la recta del modo: y - b = m (x - a). Esta se llama ecuación punto-pendiente de la recta.
* Podemos calcular la pendiente de una recta a partir de dos puntos de dicha recta. Si la recta pasa por los puntos P(a,b) y Q(c,d), entonces la pendiente se puede calcular: m = (d-b) / (c-a). Después, podemos calcular la ecuación de la recta, pues ya tenemos su pendiente y un punto de dicha recta.
A continuación, se propone la realización de una unidad didáctica interactiva sobre estos tipos de ecuaciones y también un documento sobre teoría y ejercicios sobre rectas:
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| Unidad didáctica interactiva |
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| Apuntes y ejercicios sobre rectas |
3º ESO: ESTADÍSTICA
UNIDAD DIDÁCTICA 12: ESTADÍSTICA
¿QUÉ ES LA ESTADÍSTICA?
La estadística es la rama de las Matemáticas que se encarga de estudiar fenómenos físicos, biológicos, económicos, etc. a partir de datos recogidos a base de experiencias, encuestas o diferentes observaciones.
* Ejemplo: Si se realiza una encuesta de intención de voto de cara a las próximas elecciones del Estado. Entonces:
Población: son todas las personas con derecho a voto residentes en el país.
Individuo: cada una de las personas.
Muestra: 200 personas de cada Comunidad Autónoma.
Tamaño de la muestra: 200·17=3400 personas.
Variables estadísticas: edad del individuo (cuantitativa), sexo (cualitativa), intención de voto (cualitativa), ...
¿QUÉ ES LA ESTADÍSTICA?
La estadística es la rama de las Matemáticas que se encarga de estudiar fenómenos físicos, biológicos, económicos, etc. a partir de datos recogidos a base de experiencias, encuestas o diferentes observaciones.
En la Estadística se utilizan diversos términos que debemos conocer:
- Población: es el conjunto de elementos que se estudian.
- Muestra: es la parte de la población que se estudia. Pues en la mayoría de los casos no es posible estudiar todos y cada uno de los elementos de la población.
- Individuo: cada uno de los elementos que forman la población o la muestra.
- Tamaño de la muestra: es el número de individuos que componen la muestra que se estudia.
- Carácter o variable estadística: es cualquier cualidad que estudiamos en los individuos. Las variables estadísticas pueden ser: Cuantitativas (cuando los datos recogidos son valores numéricos) o cualitativas (cuando los datos no son números, sino cualidades).
- Población: es el conjunto de elementos que se estudian.
- Muestra: es la parte de la población que se estudia. Pues en la mayoría de los casos no es posible estudiar todos y cada uno de los elementos de la población.
- Individuo: cada uno de los elementos que forman la población o la muestra.
- Tamaño de la muestra: es el número de individuos que componen la muestra que se estudia.
- Carácter o variable estadística: es cualquier cualidad que estudiamos en los individuos. Las variables estadísticas pueden ser: Cuantitativas (cuando los datos recogidos son valores numéricos) o cualitativas (cuando los datos no son números, sino cualidades).
* Ejemplo: Si se realiza una encuesta de intención de voto de cara a las próximas elecciones del Estado. Entonces:Población: son todas las personas con derecho a voto residentes en el país.
Individuo: cada una de las personas.
Muestra: 200 personas de cada Comunidad Autónoma.
Tamaño de la muestra: 200·17=3400 personas.
Variables estadísticas: edad del individuo (cuantitativa), sexo (cualitativa), intención de voto (cualitativa), ...
ORDENACIÓN Y REPRESENTACIÓN DE LOS DATOS:
Para realizar la recogida de datos se puede realizar mediante una observación directa, encuestas, cuestionarios, etc.. Después de recoger los datos correspondientes al estudio a realizar, se procede a un recuento de los mismos, agrupando los que sean iguales con el fin de ordenarlos. Si la variable es cuantitativa, los valores se deben ordenar de menor a mayor.
Una vez ordenados y recontados los datos, se organizan en tablas donde aparecen las frecuencias absolutas, las frecuencias relativas y los porcentajes correspondientes a cada valor.
Si pincháis aquí podréis ver diferentes tipos de representaciones para los datos estadísticos.
* Aquí os dejo algún ejemplo:
Para repasar lo más importante sobre la recogida de datos y su tabulación, podeís usar el siguiente enlace.
MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN DE DISPERSIÓN:
Las medidas de centralización son valores en torno a los cuales, frecuentemente, se agrupan los datos. Las principales medidas de centralización son: media aritmética, mediana y moda.
Las medidas de dispersión nos indican el grado de agrupación de los datos en torno a la media, la mediana y la moda. Estudiaremos: el recorrido y la desviación media. Cuanto más pequeñas sean éstas medidas, más agrupados estarán los datos alrededor de las medidas de centralización.
Para repasar lo más destacado sobre medidas de centralización y dispersión, utilizad esta unidad interactiva.
Por último, os propongo una serie de actividades que podéis descargar:
3º ESO: AZAR Y PROBABILIDAD
UNIDAD DIDÁCTICA 13: AZAR Y PROBABILIDAD
Durante este curso, se pretende estudiar el concepto de experimentos aleatorios y deterministas, sucesos, tipos de sucesos y probabilidad de un suceso. Para posteriormente, poder calcular la probabilidad de diferentes sucesos en diversos problemas.
Para poder repasar todo lo que hay que saber, consultad esta unidad didáctica interactiva:
A continuación, tenéis problemas resueltos que os podéis descargar:
La probabilidad es la rama de las matemáticas que se encarga de estudiar las posibilidades de éxito en un experimento aleatorio. Tiene sus orígenes en los juegos de azar.
Los primeros usos de la probabilidad están relacionados a aspectos adivinatorios y religiosos (desde la antigüedad hasta el S.XV). A partir del S.XVI se comenzó a estudiar la probabilidad para la resolución de repartos de dinero en juegos de apuestas, para el cálculo de la jugada más favorable en juegos de azar, etc... Los principales precursores de esta rama fueron Pascal y Fermat que comenzaron con este estudio mientras intentaban solucionar un problema de apuestas planteado por el Caballero de Mére (un garn aficionado al juego).
Para poder repasar todo lo que hay que saber, consultad esta unidad didáctica interactiva:
A continuación, tenéis problemas resueltos que os podéis descargar:
3º ESO: WEBQUEST
WEBQUEST: COCINA CON MATEMÁTICAS
A continuación, os presento una webquest elaborada por mí y que servirá de repaso de algunos de los contenidos vistos durante el curso.
Con la realización de esta webquest se pretende que desarrolléis todas y cada una de las competencias básicas. Y es que se considera ésta una actividad muy completa, con la que además de repasar contenidos matemáticos vistos durante el curso (“competencia matemática”):* Realicéis diferentes actividades con las nuevas tecnologías (“competencia en el tratamiento de la información y competencia digital”)
* Redactéis y presentéis de manera clara los documentos solicitados (“competencia lingüística”)
* Aprendáis a trabajar en grupo (“competencia social y ciudadana”)
* Conozcáis gastronomía de otras culturas y lugares (“competencia cultural y artística”),
* Aprendáis a elaborar recetas y adquiráis conocimientos de cocina (“competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico”)
* Colaboréis unos con otros y aprendáis a cooperar (“competencia para aprender a aprender”).
* Trabajéis autónomamente decidiendo cómo distribuiros el trabajo (“autonomía e iniciativa personal”).
COCINA CON MATEMÁTICAS
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