3º ESO: TEOREMA DE THALES Y TEOREMA DE PITÁGORAS

UNIDAD DIDÁCTICA 7: TEOREMA DE THALES Y TEOREMA DE PITÁGORAS

   En esta unidad se pretende estudiar: algunos lugares geométricos importantes, los puntos y rectas notables de un triángulo, el teorema de Thales y sus aplicaciones y el teorema de Pitágoras y sus aplicaciones.

LUGARES GEOMÉTRICOS:

   Se llama lugar geométrico al conjunto de todos los puntos que cumplen una determinada propiedad geométrica.

 * Ejemplo: El lugar geométrico de los puntos que están a la misma distancia de dos puntos A y B será una recta r:

 

Algunos lugares geométricos importantes:
Mediatriz: es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a los extremos de un segmento es la misma. Los puntos forman una recta perpendicular al segmento, que pasa por su punto medio.

Bisectriz: es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a los lados de un ángulo es la misma.

Los puntos forman una recta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos ángulos iguales.

Circunferencia: es el lugar geométrico de los puntos que están a la misma distancia de un punto fijo. Al punto fijo se le llama centro y a la distancia radio.

PUNTOS Y RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO

   Para el estudio de los puntos y rectas más importantes en un triángulo, te recomiendo que entres en los siguientes enlaces. En cada uno, repasarás todos los conceptos de manera muy visual y podrás ir modificando los triángulos para ver así cómo cambian los puntos y rectas notables de posición.

Mediatrices y circuncentro    Medianasy baricentro     Alturas y ortocentro    Bisectrices e incentro

TEOREMA DE THALES Y TEOREMA DE PITÁGORAS

   Para repasar los teoremas de Thales y Pitágoras y sus aplicaciones, podéis entrar en los siguientes enlaces. Son libros animados y os pueden servir de gran ayuda. Además, en uno de ellos también podéis repasar las figuras planas y triángulos.
   Si queréis repasar el teorema de Thales, elegid su imagen. Si preferís repasar Pitágoras, elegidle a él:

Pitágoras

Thales de Mileto

EJERCICIOS

  Como siempre, aquí os dejo un documento con ejercicios sobre el tema y sus soluciones. Espero que os sirva de ayuda.

Lugares geométricos

3º ESO: MOVIMIENTOS EN EL PLANO

  UNIDAD DIDÁCTICA 8: MOVIMIENTOS EN EL PLANO

   ¿Conocéis a M.C. Escher? Maurits Cornelis Escher, más conocido como M.C. Escher nació en 1898 en los Países Bajos y falleció en 1972. Fue un artista muy estimado, conocido por sus grabados en madera, xilografías y litografías sobre figuras imposibles, teselados y mundos imaginarios.
  Su obra refleja espacios paradójicos y mundos imposibles, y siempre ha interesado a los matemáticos.
  Si queréis saber más sobre él y conocer algunas de sus obras, pinchad en su foto. De momento, aquí os presento algunos de sus trabajos:

Mariposas

Esfera con ángeles y diablos

Relatividad

     Escher cubría todo el plano con un mismo dibujo (como en el caso de la teselación con mariposas) o combinando dos dibujos (como en el caso de la esfera con ángeles y diablos).

   También realizaba pinturas de mundos imaginarios en los que en una misma escalera, dos personas colocadas en el mismo sentido de marcha, una sube y la otra baja. 

Es como si fuesen dos mundos distintos pero juntos, dos dimensiones en una.

  En esta unidad se estudian los movimientos en el plano: traslaciones, giros y simetrías. Posteriormente, podréis ver cómo Escher conseguía rellenar el plano con un mismo dibujo a través de estos movimientos. 

    TRASLACIÓN: Una traslación de vector v, es un movimiento que hace corresponder a cada punto A, otro punto A´, que se obtiene al aplicar a A el vector v. 

    Las traslaciones no varían el tamaño de la figura ni su orientación. Tan sólo cambian el lugar de posición de la figura.

   Podéis ver cómo funcionan las traslaciones de manera muy visual en el siguiente enlace. En él, veréis cómo se aplica una traslación a una figura, podeís cambiar la figura inicial o el vector de traslación, y comprobaréis cómo cambia de posición la figura trasladada.

    GIRO: Un giro con centro O y ángulo x, es un movimiento que hace corresponder a cada punto P otro punto del plano, aplicando sobre él un movimiento circular de centro O y x grados.
    Los giros cambian el lugar del plano en el que se sitúa la figura y también cambian la orientación de la figura, pero no su tamaño.

   Al igual que antes, si pincháis aquí, veréis cómo funcionan los giros y cómo cambia la figura obtenida si se cambia el centro de giro y/o el ángulo de giro.

   SIMETRÍA AXIAL:Una simetría axial de eje e es una transformación en la que a cada punto A le corresponde otro A´ que está a igual distancia de e que A y ambos están alineados de manera perpendicular a e.
   Las simetrías axiales cambian las figuras de posición en el plano y de orientación.

  Podéis comprobar cómo cambia una figura mediante una simetría axial aquí.

   SIMETRÍA CENTRAL: Una simetría central de centro O es lo mismo que un giro de centro O y una amplitud de 180 grados. De otro modo, es similar a una simetría axial pero en la que cada punto A´ está a la misma distancia de O que el punto A, estando los tres puntos alineados.

  Para comprobar cómo cambia una figura al variar el centro de simetría o la posición de la figura inicial, lo podéis ver en este enlace.

  TESELACIONES DEL PLANO: Como ya hemos mencionado, Escher conseguía rellenar el plano (teselar el plano) mediante la aplicación de uno o más movimientos sobre las figuras que quería utilizar en cada caso. Si pincháis en este enlace podéis ver diversas teselaciones y cómo se realizan. Os propongo que elijáis la teselación o teselaciones que más os gusten e intentéis determinar qué movimientos hay que realizar, en qué órden y sobre qué figura, para poder obtener cada mosaico.

  Si pincháis en el siguiente friso podeis visitar una página "sociedadmatematicacantabria.es", en la que realizar actividades sobre frisos y cenefas que aparecen por las calles de la capital Cántabra. Es muy interesante y hay actividades para realizar:

   Si tenéis algún problema con Java en vuestro ordenador, también podéis ver cómo realizar movimientos en el plano aquí. Y si queréis ver cómo Escher conseguía teselar el plano, entonces entrad en este otro enlace.



 Por último y como siempre, os facilito un documento que podéis descargar. En él tenéis toda la teoría sobre el tema y actividades que realizar.  Aquí lo tenéis:

3º ESO: POLIEDROS REGULARES Y ESFERA

  UNIDAD DIDÁCTICA 9: LOS POLIEDROS REGULARES Y LA ESFERA

  Se llaman poliedros a los cuerpos geométricos cuyas caras son polígonos. Los poliedros se clasifican en prismas y en pirámides.
  Los prismas tienen dos caras (bases) que son iguales y paralelas entre sí. Las caras laterales son paralelogramos. Una caja de zapatos es un ejemplo de prisma.

Aquí tenéis algunos ejemplos de prismas. Uno tiene como base un triángulo, otro un pentágono y el último un hexágono.

   Las pirámides son poliedros que tienen una sola base, que es un polígono cualquiera, y sus otras caras son triángulos que se unen en un vértice común que se llama cúspide o vértice de la pirámide. Una tienda de campaña o las pirámides de Egipto son ejemplos de este tipo de poliedros.

Aquí podéiss ver dos pirámides. Una tiene como base un rectángulo y la otra un cuadrado.

  La esfera es un cuerpo geométrico limitado por una superficie curva cerrada cuyos puntos están a la misma distancia de otro punto interior llamado centro de la esfera. Una pelota sería un ejemplo de esfera.

  

  Podéis repasar todo lo que tenéis que saber sobre poliedros (elementos, planos de simetría y desarrollo plano) y sobre la esfera (elementos y aplicaciones a las coordenadas geográficas de un punto en la tierra) en los siguientes enlaces.
  Vosotros elegís qué repasar. Podéis descargar un documento pdf con teoría y actividades si elegís a Frink, y si preferís visitar la unidad interactiva entonces elegid a Bart.

También os dejo una última opción. La de utilizar el siguiente documento:

poliedros