¿Conocéis a M.C. Escher? Maurits Cornelis Escher, más conocido como M.C. Escher nació en 1898 en los Países Bajos y falleció en 1972. Fue un artista muy estimado, conocido por sus grabados en madera, xilografías y litografías sobre figuras imposibles, teselados y mundos imaginarios.Su obra refleja espacios paradójicos y mundos imposibles, y siempre ha interesado a los matemáticos.
Si queréis saber más sobre él y conocer algunas de sus obras, pinchad en su foto. De momento, aquí os presento algunos de sus trabajos:
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| Mariposas |
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| Esfera con ángeles y diablos |
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| Relatividad |
Escher cubría todo el plano con un mismo dibujo (como en el caso de la teselación con mariposas) o combinando dos dibujos (como en el caso de la esfera con ángeles y diablos).
También realizaba pinturas de mundos imaginarios en los que en una misma escalera, dos personas colocadas en el mismo sentido de marcha, una sube y la otra baja.
Es como si fuesen dos
mundos distintos pero juntos, dos dimensiones en una.
En esta unidad se estudian los movimientos en el plano: traslaciones, giros y simetrías. Posteriormente, podréis ver cómo Escher conseguía rellenar el plano con un mismo dibujo a través de estos movimientos.
TRASLACIÓN: Una traslación de vector v, es un movimiento que hace corresponder a cada punto A, otro punto A´, que se obtiene al aplicar a A el vector v.
Las traslaciones no varían el tamaño de la figura ni su orientación. Tan sólo cambian el lugar de posición de la figura.
Podéis ver cómo funcionan las traslaciones de manera muy visual en el siguiente enlace. En él, veréis cómo se aplica una traslación a una figura, podeís cambiar la figura inicial o el vector de traslación, y comprobaréis cómo cambia de posición la figura trasladada.
GIRO: Un giro con centro O y ángulo x, es un movimiento que hace corresponder a cada punto P otro punto del plano, aplicando sobre él un movimiento circular de centro O y x grados.
Los giros cambian el lugar del plano en el que se sitúa la figura y también cambian la orientación de la figura, pero no su tamaño.
Los giros cambian el lugar del plano en el que se sitúa la figura y también cambian la orientación de la figura, pero no su tamaño.
Al igual que antes, si pincháis aquí, veréis cómo funcionan los giros y cómo cambia la figura obtenida si se cambia el centro de giro y/o el ángulo de giro.
SIMETRÍA AXIAL:Una simetría axial de eje e es una transformación en la que a cada punto A le corresponde otro A´ que está a igual distancia de e que A y ambos están alineados de manera perpendicular a e.
Las simetrías axiales cambian las figuras de posición en el plano y de orientación.
Podéis comprobar cómo cambia una figura mediante una simetría axial aquí.
SIMETRÍA CENTRAL: Una simetría central de centro O es lo mismo que un giro de centro O y una amplitud de 180 grados. De otro modo, es similar a una simetría axial pero en la que cada punto A´ está a la misma distancia de O que el punto A, estando los tres puntos alineados.
Para comprobar cómo cambia una figura al variar el centro de simetría o la posición de la figura inicial, lo podéis ver en este enlace.
TESELACIONES DEL PLANO: Como ya hemos mencionado, Escher conseguía rellenar el plano (teselar el plano) mediante la aplicación de uno o más movimientos sobre las figuras que quería utilizar en cada caso. Si pincháis en este enlace podéis ver diversas teselaciones y cómo se realizan. Os propongo que elijáis la teselación o teselaciones que más os gusten e intentéis determinar qué movimientos hay que realizar, en qué órden y sobre qué figura, para poder obtener cada mosaico.
Si pincháis en el siguiente friso podeis visitar una página "sociedadmatematicacantabria.es", en la que realizar actividades sobre frisos y cenefas que aparecen por las calles de la capital Cántabra. Es muy interesante y hay actividades para realizar:
Si tenéis algún problema con Java en vuestro ordenador, también podéis ver cómo realizar movimientos en el plano aquí. Y si queréis ver cómo Escher conseguía teselar el plano, entonces entrad en este otro enlace.
Por último y como siempre, os facilito un documento que podéis descargar. En él tenéis toda la teoría sobre el tema y actividades que realizar. Aquí lo tenéis:
SIMETRÍA AXIAL:Una simetría axial de eje e es una transformación en la que a cada punto A le corresponde otro A´ que está a igual distancia de e que A y ambos están alineados de manera perpendicular a e.
Las simetrías axiales cambian las figuras de posición en el plano y de orientación.
SIMETRÍA CENTRAL: Una simetría central de centro O es lo mismo que un giro de centro O y una amplitud de 180 grados. De otro modo, es similar a una simetría axial pero en la que cada punto A´ está a la misma distancia de O que el punto A, estando los tres puntos alineados.
TESELACIONES DEL PLANO: Como ya hemos mencionado, Escher conseguía rellenar el plano (teselar el plano) mediante la aplicación de uno o más movimientos sobre las figuras que quería utilizar en cada caso. Si pincháis en este enlace podéis ver diversas teselaciones y cómo se realizan. Os propongo que elijáis la teselación o teselaciones que más os gusten e intentéis determinar qué movimientos hay que realizar, en qué órden y sobre qué figura, para poder obtener cada mosaico.
Si pincháis en el siguiente friso podeis visitar una página "sociedadmatematicacantabria.es", en la que realizar actividades sobre frisos y cenefas que aparecen por las calles de la capital Cántabra. Es muy interesante y hay actividades para realizar:
Si tenéis algún problema con Java en vuestro ordenador, también podéis ver cómo realizar movimientos en el plano aquí. Y si queréis ver cómo Escher conseguía teselar el plano, entonces entrad en este otro enlace.
Por último y como siempre, os facilito un documento que podéis descargar. En él tenéis toda la teoría sobre el tema y actividades que realizar. Aquí lo tenéis:
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